Question

已知双曲线：的右焦点为，在的两条渐近线上的射影分别为、，是坐标原点，且四边形是边长为的正方形．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过的直线交于、两点，线段的中点为，问是否能成立？若成立，求直线的方程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依题意知的两条渐近线相互垂直，且点到任一条渐近线的距离为，

故双曲线的方程为．                            
（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：                      
当直线的斜率不存在时，结论不成立                       
当直线斜率存在时，设其方程为，并设、
由知                             

则                                         
故
这不可能
综上可知，不存在这样的直线．              

略