【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率为,直线l:y=2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 已知椭圆的上顶点为A,点B,C是上的不同于A的两点,且点B,C关于原点对称,直线AB,AC分别交直线l于点E,F.记直线与的斜率分别为, .
① 求证: 为定值;
② 求△CEF的面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)①详见解析②
【解析】试题分析:
(1)由题意求得 的值,结合椭圆焦点位于 轴上写出标准方程即可;
(2)①中,分别求得 的值,然后求解其乘积即可证得结论;
②中,联立直线与椭圆的方程,利用面积公式得出三角形面积的解析式,最后利用均值不等式求得面积的最小值即可.
试题解析:
(Ⅰ)由题知,由,
所以.
故椭圆的方程为.
(Ⅱ)① 证法一:设,则,
因为点B,C关于原点对称,则,
所以.
证法二:直线AC的方程为,
由得,
解得,同理,
因为B,O,C三点共线,则由,
整理得,
所以.
②直线AC的方程为,直线AB的方程为,不妨设,则,
令y=2,得,
而,
所以,△CEF的面积
.
由得,
则 ,当且仅当取得等号,
所以△CEF的面积的最小值为.
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【题目】若α∈[0,π],β∈[﹣ , ],λ∈R,且(α﹣ )3﹣cosα﹣2λ=0,4β3+sinβcosβ+λ=0,则cos( +β)的值为( )
A.0
B.
C.
D.
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【题目】下列各式中,正确的是( )
A.2{x|x≤2}
B.3∈{x|x>2且x<1}
C.{x|x=4k±1,k∈Z}≠{x|x=2k+1,k∈Z}
D.{x|x=3k+1,k∈Z}={x|x=3k﹣2,k∈Z}
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【题目】若集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}只有一个元素,则实数k的取值集合为( )
A.{﹣1}
B.{0}
C.{﹣1,0}
D.(﹣∞,﹣1]∪{0}
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是 (为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(Ⅰ) 求曲线与交点的平面直角坐标;
(Ⅱ) 点分别在曲线, 上,当最大时,求的面积(为坐标原点).
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【题目】已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=2cosθ, ,射线θ=φ, , 与曲线C1交于(不包括极点O)三点A,B,C.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)当时,求点B到曲线C2上的点的距离的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)(0<a<1)
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求函数f(x)的零点;
(3)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.
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