Question

2012年伦敦奥运会伦敦站的火炬传递中邀请了5位奥运冠军和3位歌手参加传递，
（Ⅰ） 若3位歌手互不相邻，求伦敦站的不同传递方案的种数．（直接用数字作答）
（Ⅱ）在这8位参加传递的人中选3人参加一项奥运宣传活动，用X表示参加此次宣传活动的歌手的人数．
①列出X的所有可能的取值结果；        
②求随机变量X的分布列；   
③求参加此次活动的人中歌手至少有2名的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）由3位歌手互不相邻，利用插空法能求出伦敦站的不同传递方案的种数．
（2）X的所有可能的取值结果为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和概率．

解答： 解：（1）∵3位歌手互不相邻，
∴伦敦站的不同传递方案的种数为：

A

5 5

•

A

3 6

=14400．…（2分）
（2）①X的所有可能的取值结果为：0，1，2，3．…（3分）
②P(X=0)=

C 3 5 C 0 3

C 3 8

=

5

28

，P(X=1)=

C 2 5 C 1 3

C 3 8

=

15

28

，P(X=2)=

C 1 5 C 2 3

C 3 8

=

15

56

，P(X=0)=

C 0 5 C 3 3

C 3 8

=

1

56

所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	5 28	15 28	15 56	1 56

…（10分）
③参加此次活动的人中歌手至少有2名的概率为：P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=

15

56

+

1

56

=

2

7

…（13分）..

点评：本题考查的不同传递方案的种数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．