Question

（10分）已知数列中，，，其前项和
满足．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求
（Ⅲ）若对一切恒成立，求实数的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）的最小值为

本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和前n项和的求解，以及不等式的恒成立问题的运用。
（1）由已知， （，），且
数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴
（2）因为
利用裂项求和得到前n项和的结论。
（3），∴≤ 
∴≥ 
运用分离参数的思想求解其范围。
解：（Ⅰ）由已知， （，），且
数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴…………3分
（Ⅱ）
 …………6分
（Ⅲ），∴≤ 
∴≥ 
又≤ ，（也可以利用函数的单调性解答）
∴的最小值为               …………………………………10分