Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={(x，y)|y=

1

x

}；
②M={（x，y）|y=e^x-2}；
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}．
其中是“垂直对点集”的序号是

②③

．

Answer 1

分析：对于①，利用x1x2+

1

x1x2

=0无实数解，判断其正误即可．
对于②，画出函数y=e^x-2图象，利用图象说明函数满足“垂直对点集”的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数y=cosx图象，利用图象说明函数满足“垂直对点集”的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数y=lnx图象，取一个特殊点即能说明不满足“垂直对点集”定义．

解答：解：对于①，注意到x1x2+

1

x1x2

=0无实数解，因此①不是“垂直对点集”； 
对于②，如下左图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=e^x-2相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=e^x-2相交，因此②是“垂直对点集”；
对于③，如下中图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=cosx相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=cosx相交，因此③是“垂直对点集”；
对于④，如下右图，注意到对于点（1，0），不存在（x₂，y₂）∈M，使得1×x₂+0×lnx₂=0，因为x₂=0与真数的限制条件x₂＞0矛盾，因此④不是“垂直对点集”．

故答案为：②③

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．