Question

设函数f（x）满足2f(x)-f(

1

x

)=4x-

2

x

+1，数列{a_n}和{b_n}满足下列条件：a₁=1，a_n+1-2a_n=f（n），b_n=a_n+1-a_n，c_n=a_n+2n+3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明{c_n}成等比数列，并求{b_n}的通项公式b_n．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）满足2f(x)-f(

1

x

)=4x-

2

x

+1，用

1

x

代替x可得2f(

1

x

)-f(x)=

4

x

-2x+1，联立即可解出f（x）．
（2）利用a_n+1-2a_n=f（n）和（1）可得a_n+1-2a_n=2n+1，变形为a_n+1+2（n+1）+3=2（a_n+2n+3）．由于c_n=a_n+2n+3，可得c_n+1=2c_n，即可证明数列{c_n}成等比数列可得c_n，进而得到a_n，b_n．

解答：解：（1）∵函数f（x）满足2f(x)-f(

1

x

)=4x-

2

x

+1，∴2f(

1

x

)-f(x)=

4

x

-2x+1，
联立解得f（x）=2x+1．
（2）∵a_n+1-2a_n=f（n），
∴a_n+1-2a_n=2n+1，
变形为a_n+1+2（n+1）+3=2（a_n+2n+3）．
∵c_n=a_n+2n+3，∴c_n+1=a_n+1+2（n+1）+3，
∴c_n+1=2c_n，
∴数列{c_n}成等比数列，首项c₁=a₁+2+3=6，公比q=2．
∴cn=c1qn-1=6×2^n-1=3×2ⁿ．
∴an+2n+3=3×2n，解得an=3×2n-2n-3．
∴b_n=a_n+1-a_n=3×2ⁿ⁺¹-2（n+1）-3-[3×2ⁿ-2n-3]=3×2ⁿ-2．

点评：本题考查了变形转化为等比数列的数列的通项公式、等比数列的通项公式、等基础知识与基本技能方法，其难度是恰当变形，属于难题．