Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90º，AE⊥平面ABCD，EF//CD，BC=CD=AE=EF==1．

（Ⅰ）求证：CE//平面ABF；
（Ⅱ）求证：BE⊥AF；
（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在BC上存在点M，且|CM|=．

试题分析：（I）将直角梯形ABCD补为长方形（补为长方形，一切都好办了！），如图，作 FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，由三角形的中位线可得BH∥CE，从而得CE∥面ABF．

（Ⅱ）空间中证线线垂直，一般先证线面垂直.那么在本题中，证哪条线垂直哪个面？结合（I）题易得BG⊥AF，AF⊥EG，由此得 AF⊥平面BGE，从而 AF⊥BE．（Ⅲ）思路一、由于AG、AE、AD两两垂直，故以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz．假设M(1，y₀，0)，然后看利用二面角E-MD-A的大小为能否求出y₀，若能求出y₀，则存在；不能求出y₀，则不存在.
思路二、作出二面角的平面角也可.
试题解析：（I）证明：如图，作 FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，

∵EF∥CD且EF=CD，
∴AG∥CD，
即点G在平面ABCD内．
由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG，
∴四边形AEFG为正方形，
CDAG为平行四边形，                      2分
∴H为EG的中点，B为CG中点，
∴BH∥CE，
∴CE∥面ABF．                        4分
（Ⅱ）证明：∵ 在平行四边形CDAG中，∠ADC=90º，
∴BG⊥AG．
又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG，
∴BG⊥面AEFG，
∴BG⊥AF．                          6分
又∵AF⊥EG，
∴AF⊥平面BGE，
∴AF⊥BE．                          8分
（Ⅲ）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz．

则A(0，0，0)，G(1，0，0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，设M(1，y₀，0)，
∴，，
设面EMD的一个法向量，
则令y=1，得，
∴．                      10分
又∵，
∴为面AMD的法向量，
∴，
解得，
故在直线BC上存在点M，且|CM|=||=．         12分
法二、作，则，由等面积法得：.