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    （Ⅰ）已知矩阵M=
    2
    3
    		-
    1
    3
    1
    3
    1
    3
    ，△ABC的顶点为A（0，0），B（2，0），C（1，2），求△ABC在矩阵M-1的变换作用下所得△A′B′C′的面积．
    （Ⅱ）极坐标的极点是直角坐标系原点，极轴为X轴正半轴，直线l的参数方程为
    x=x0+
    1
    2
    t
    y=
    		3
    2
    t
    ．
    （t为参数）．⊙O的极坐标方程为ρ=2，若直线l与⊙O相切，求实数x0的值．
    （Ⅲ）已知a，b，c∈R+，且
    1
    a
    +
    2
    b
    +
    3
    c
    =2    ，求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．
    分析：（1）由M•M-1=E，可得M-1，求出变换作用下的A′，B′，C′的坐标，利用余弦公式求出三角形一个角，得∠A是直角，由面积公式求出面积．
    （2）利用已知条件，求出在直角坐标系中直线1与⊙0的方程，发现其分别为直线和圆，根据相切原理，知圆心O（0，0）到直线L的距离为2，又根据求距离公式，即可求出x0．
    （3）根据柯西不等式，即可解答．
    解答：解：（1）由M•M-1=E，可得M-1 =
    .
    11
    -12
    .
    ，（3分）
    .
    11
    -12
    .
    .
    0
    0
    .
    =
    .
    0
    0
    .
    ，
    .
    11
    -12
    .
    .
    2
    0
    .
    =
    .
    2
    -2
    .
    ，
    .
    11
    -12
    .
    .
    1
    2
    .
    =
    .
    3
    3
    .
    ，
    ∴变换作用下得A’（0，0），B‘（2，-2），C’（3，3），（5分）
    cos∠B′A′C′=
    AB
    •
    AC
    |
    AB
    |•|
    AC
    |

    故
    AB
    ⊥
    AC
    .S△A′B′C′=
    1
    2
    |
    AB
    |•|
    AC
    |=6    ，（7分）
    （2）解：直线L的普通方程为y=
    		3
    (x-x0)    ，（2分）
    ⊙0的直角坐标方程为x2+y2=4．（4分）
    ∵直线L与⊙0相切
    ∴圆心O（0，0）到直线L：
    		3
    x-y-
    		3
    x0=0    的距离为2．
    即
    |
    		3x0
    |
    2
    =2    ，解得x0=±
    4
    		3
    3
    ．（7分）
    （3）解：由柯西不等式得
    (
    1
    a
    +
    2
    b
    +
    3
    c
    )(a+2b+3c)=[(
    1
    a
    )    2    +(
    2
    b
    )    2    +(
    3
    c
    )    2    ][(
    		a
    )    2    +(
    		2b
    )    2    +(
    		3c
    )    2    ]    ≥(
    1
    a
    •
    		a
    +
    2
    b
    •
    		2b
    +
    3
    c
    		3c
    =36)2=36    ．（5分）
    又
    1
    a
    +
    2
    b
    +
    3
    c
    =2    ，∴a+2b+3c≥18．当且仅当
    1
    a
    		a
    =
    2
    b
    		2b
    3
    c
    		3c
    ，
    即a=b=c=3时等式成立．
    ∴当a=b=c=3时，a+2b+3c取得最小值18．（7分）
    点评：本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网A、选修4-1：几何证明选讲 
    如图，PA与⊙O相切于点A，D为PA的中点，
    过点D引割线交⊙O于B，C两点，求证：∠DPB=∠DCP．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵M=
    12
    2x
    的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
    C．选修4-4：坐标系与参数方程
    在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2
    		2
    sin(θ+
    π
    4
    )    ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
    x=t
    y=1+2t
    （t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．
    D．选修4-5：不等式选讲
    求函数y=
    		1-x
    +
    		4+2x
    的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知矩阵M=
    2  1
    4  2
    ，向量
    β
    =
    .
    1 
    7 
    .
    ．
    （1）求矩阵M的特征向量；
    （2）计算M50
    β
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知矩阵M=
    2a
    21
    ，其中a∈R，点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0），则实数a=
    3
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•徐州模拟）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，
    若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．选修4-1：几何证明选讲
    如图，半径分别为R，r（R＞r＞0）的两圆⊙O，⊙O1内切于点T，P是外圆⊙O上任意一点，连PT交⊙O1于点M，PN与内圆⊙O1相切，切点为N．求证：PN：PM为定值．
    B．选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵M=
    21
    34

    （1）求矩阵M的逆矩阵；
    （2）求矩阵M的特征值及特征向量；
    C．选修4-2：矩阵与变换
    在平面直角坐标系x0y中，求圆C的参数方程为
    x=-1+rcosθ
    y=rsinθ
    (θ    为参数r＞0），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
    π
    4
    )=2
    		2
    ．若直线l与圆C相切，求r的值．
    D．选修4-5：不等式选讲
    已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求证：1＜a+b＜
    4
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知矩阵M=
    2  1
    4  2
    ，向量
    β
    =
    .
    1 
    7 
    .
    ．
    （1）求矩阵M的特征向量；
    （2）计算M50
    β
    ．

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