Question

【题目】已知直三棱柱的底面是边长为6的等边三角形，是边上的中点，点满足，平面平面，求：

(1)侧棱长；

(2)直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：(1)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量垂直对应向量数量积为零列式解得竖坐标，即侧棱长；(2)利用方程组解得平面一个法向量，由向量数量积得直线方向向量与平面一个法向量的夹角，最后根据直线与平面所成的角与向量夹角互余得结果.

详解：

（1）如图所示，以点为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，.设侧棱长为，则，.

∵ 平面，

∴ .

故要使平面平面，只需即可，就是当时，

则平面，

∴平面平面.

∴ ，即.

故侧棱长为时，平面平面.

（2）设平面法向量为，

则，∴ .

，∴ .

取.

又，

∴ .

故直线与平面所成的角的正弦值为.