Question

【题目】已知函数f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) （e2-1）x-y-2=0．(2) （0，e2）

【解析】

（1）直接利用函数的导数求出直线的斜率，进一步求出直线的方程．

（2）利用构造函数的方法，利用函数的单调性和函数的恒成问题的应用，进一步求出参数的取值范围．

（1）当a=1时，函数f（x）=ex+1-alnax+a，

转换为：f（x）=ex+1-lnx+1，

故：．

故切线的斜率k=f′（1）=e2-1，

故切线的方程为：y-f（1）=f′（1）（x-1），

整理得：y-（e2-1）=（e2-1）（x-1），

即（e2-1）x-y-2=0．

（2）f（x）=ex+1-alnax+a，

所以：=，

显然：g（x）=xex+1-a在（0，+∞）上单调递增．

由于g（0）=-a＜0，

所以：g（a）=aea+1-a＞0，

则：存在x0∈（0，a），使得g（x0）=0，

即：，lna=lnx0+x0+1，

又0＜x＜x0，f′（x）＜0，

所以函数f（x）单调递减．

x＞x0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

f（x）在x=x0处取得最小值．

故：，

=

由f（x）＞0恒成立，

得到：f（x0）＞0，

即：，

所以：，

设h（x）=，

则：＜0，

所以：函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．

由于h（1）=0，

则h（x）＞0，

解得：0＜x＜1，

所以：0＜x0＜1，

，在x0∈（0，1）单调递增，

所以：0＜a＜e2．

因此a=，

故：a的取值范围为（0，e2）．