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已知:x,y,z∈(0,1),求证:(1-x)y,(1-y)z,(1-z)x不可能都大于数学公式

证明:假设三个式子都大于
即(1-x)y>,(1-y)z>,(1-z)x>
三个式子相乘得:
(1-x)y•(1-y)z•(1-z)x>
∵0<x<1∴x(1-x)≤(2=
同理:y(1-y)≤,z(1-z)≤
∴(1-x)y•(1-y)z•(1-z)x≤
显然①与②矛盾,所以假设是错误的,故原命题成立.
分析:利用反证法,先对结论进行否定,再利用基本不等式,推出矛盾即可.
点评:本题考查用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,在此基础上推出矛盾,是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知实数x,y,z满足x+y+z=2,求2x2+3y2+z2的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知:x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,则x-2y-3z的最大值为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=
1
2xyz2
的最小值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)若点A(a,b)(其中a≠b)在矩阵M=
0-1
10
对应变换的作用下得到的点为B(-b,a).
(Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵;
(Ⅱ)求曲线C:x2+y2=1在矩阵N=
0
1
2
10
所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
(Ⅰ)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为θ=
π
4
(ρ∈R)
,它与曲线
x=2+
5
cosθ
y=1+
5
sinθ
为参数)相交于两点A和B,求|AB|;
(Ⅱ)已知极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,若直线C1的极坐标方程为:ρcos(θ-
π
4
)=
2
,曲线C2的参数方程为:
x=1+cosθ
y=3+sinθ
(θ为参数),试求曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程.
(3)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ)已知函数f(x)=|x+3|,g(x)=m-2|x-11|,若2f(x)≥g(x+4)恒成立,求实数m的取值范围.
(Ⅱ)已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0),且x+y+z的最大值是1,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正数x、y、z满足x+y+z=1,则
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值为
36
36

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