Question

某市投资甲、乙两个工厂，2011年两工厂的产量均为100万吨，在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n年比上一年增加2^n-1万吨，记2011年为第一年，甲、乙两工厂第n年的年产量分别为a_n万吨和b_n万吨．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底，其中哪一个工厂被另一个工厂兼并．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，甲工厂第n年的年产量是构成等差数列，其首项为100，公差是10，而乙工厂的第n年的年产量是一个累加和为b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1，故数列{a_n}，{b_n}的通项公式易得；
（Ⅱ）比较两个通项公式，根据情况求出年份即可．

解答：解：（Ⅰ）由题得，甲工厂第n年的年产量是一个等差数列的项，其首项为100，公差是10，∴a_n=10n+90，
乙工厂的第n年的年产量是一个累加和为b_n=100+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ+98…（6分）
（Ⅱ）各年的产量如下表

n	1	2	3	4	5	6	7	8
an	100	110	120	130	140	150	160	170
bn	100	102	106	114	130	162	226	354

∴2018年底甲工厂将被乙工厂兼并．        …（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查用数列解决实际问题．由于比较两个工厂的产量时两个函数的形式较特殊，不易求解，故采取了列举法，数据列举时作表格比较简捷．