Question

如图，矩形ABCD中，AB=

8 3

3

，BC=2，椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于0.7．
（I）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程；
（II）过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P，Q两点，设椭圆的右焦点为F₂，当∠PF2Q=

2π

3

时，求△PF₂Q的面积．

Answer 1

分析：先以过O平行于AB的直线为x轴，以过O平行于AD的直线为y轴建立直角坐标系．
（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，根据题目中准线方程、短轴长和离心率确定a，b，c的值，代入即可确定方程．
（2）先求出|PF₁|、|PF₂|的距离，根据对称性可知|PF₁|=|QF₂|，再由三角形面积公式可得到答案．

解答：解；如图，建立直角坐标系，
依题意：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
（I）依题意：

a2

c

=

4 3

3

，b=1，a2=b2+c2，
∵椭圆M的离心率大于0.7，所以a²=4，b²=1．
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．

（II）因为直线l过原点与椭圆交于点P，Q，
设椭圆M的左焦点为F₁．
由对称性可知，四边形PF₁QF₂是平行四边形．
∴△PF₂Q的面积等于△PF₁F₂的面积．
∵∠PF2Q=

2π

3

，
∴∠F1PF2=

π

3

．
设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
则

r1+r2=4 r 2 1 + r 2 2 -r1r2=12

∴r1r2=

4

3

．
∴S△PF2Q=S△F2PF1=

1

2

r1r2sin

π

3

=

3

3

．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程．圆锥曲线是每年必考题，对于圆锥曲线的基础知识一定要熟练掌握．