Question

在下列命题中：
①α=2kπ+

π

3

（k∈Z）是tanα=

3

的充分不必要条件
②函数y=sinxcosx的最小正周期是2π
③在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为钝角三角形
④函数y=2sin（2x+

π

6

）+1图象的对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，1)（k∈Z）．
其中正确的命题为

 

（请将正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：将α=2kπ+

π

3

，求得tanα=

3

，可判断是充分条件，再由tanα=

3

求得α=kπ+

π

3

，不必要，进而可判断①；
对y=sinxcosx根据二倍角公式进行化简，再由T=

2π

w

可确定②的正误；
根据cosAcosB＞sinAsinB得到cosC＜0，进而可得到C为钝角，故三角形是钝角三角形；
令2x+

π

6

=kπ求得x的值，进而可得到函数的对称中心，进而可得到④正确．

解答：解：①当α=2kπ+

π

3

时，tanα=tan（2kπ+

π

3

）=tan

π

3

=

3

，故α=2kπ+

π

3

（k∈Z）是tanα=

3

的充分条件；
当tanα=

3

时，α=kπ+

π

3

，故tanα=

3

是α=kπ+

π

3

的不必要条件，从而①正确；
②y=sinxcosx=

1

2

sin2x，T=

2π

2

=π，故②不对；
若cosAcosB＞sinAsinB，cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC＞0，∴cosC＜0，故C为钝角，③正确；
令2x+

π

6

=kπ，∴x=

kπ

2

-

π

12

，∴函数y=2sin（2x+

π

6

）+1图象的对称中心为(

kπ

2

-

π

12

，1)，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查三角函数的基本性质--对称性、周期性，考查对三角函数的基本性质的理解和应用．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化基础的夯实．