解:(1)由a
m+a
m+1=a
k,得6m+5=3k+1,
整理后,可得
,∵m、k∈N
*,∴k-2m为整数,
∴不存在m、k∈N
*,使等式成立.
(2)设a
n=nd+c,若
,对n∈N
×都成立,
且{b
n}为等比数列,则
,对n∈N
×都成立,
即a
na
n+2=qa
n+12,∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)
2,
对n∈N
×都成立,∴d
2=qd
2(i)若d=0,则a
n=c≠0,∴b
n=1,n∈N
*.
(ii)若d≠0,则q=1,∴b
n=m(常数),即
=m,则d=0,矛盾.
综上所述,有a
n=c≠0,b
n=1,使对一切n∈N
×,
.
(3)a
n=4n+1,b
n=3
n,n∈N
*,
设a
m+1+a
m+2++a
m+p=b
k=3
k,p、k∈N
*,m∈N.
,
∴
,
∵p、k∈N
*,∴p=3
s,s∈N
取k=3s+2,4m=3
2s+2-2×3
s-3=(4-1)
2s+2-2×(4-1)
s-3≥0,由
二项展开式可得整数M
1、M
2,
使得(4-1)
2s+2=4M
1+1,2×(4-1)
s=8M
2+(-1)
S2
∴4m=4(M
1-2M
2)-((-1)
S+1)2,
∴存在整数m满足要求.
故当且仅当p=3
s,s∈N,命题成立.
分析:(1)由a
m+a
m+1=a
k,得6m+5=3k+1,
,由m、k∈N
*,知k-2m为整数,所以不存在m、k∈N
*,使等式成立.
(2)设a
n=nd+c,若
,对n∈N
×都成立,且{b
n}为等比数列,则
,对n∈N
×都成立,由此入手能够导出有a
n=c≠0,b
n=1,使对一切n∈N
×,
.
(3)a
n=4n+1,b
n=3
n,n∈N
*,设a
m+1+a
m+2++a
m+p=b
k=3
k,p、k∈N
*,m∈N.
4m+2p+3+
,由p、k∈N
*,知p=3
s,s∈N.由此入手能导出当且仅当p=3
s,s∈N,命题成立.
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用.