Question

已知f（x）=

1 x -1，x≥1 lnx，0＜x＜1

，若f（x）≤k（x-1）恒成立，则k的取值范围是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，0]
• C、（0，1）
• D、[0，1]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：先作出函数f（x）的图象，将直线y=k（x-1）从x轴开始按逆时钟方向绕点（1，0）旋转，至与函数y=lnx（x＞0）的图象相切时，能保证f（x）≤k（x-1）成立，从而获得k的取值范围．

解答：解：由f（x）的解析式画出其图象，如右图所示，
设曲线y=lnx（x＞0）在点（1，0）处的切线的斜率为k₀，
由直线y=k（x-1）的位置变化知，若f（x）≤k（x-1）恒成立，则0≤k≤k₀，
又由y′=(lnx)′=

1

x

，得k₀=1，
所以0≤k≤1．
故选D．

点评：1．本题考查了分段函数的应用，利用图象关系进行处理，体现了数形结合思想的运用．
2．对于分段函数问题，关键是掌握分界点处的情况．