Question

在平面直角坐标系中，定义P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，则
①动点C（x，y）到坐标原点的“直角距离”等于1，则动点C的轨迹关于x轴、y轴、原点对称．
②设A（-1，9）、B（1，0），满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C的轨迹是一条长度为2的线段；
③设F₁（-1，0），F₂（1，0），C（x，y）则{（x，y）|d（C，F₁）+d（C，F₂）=4}⊆{（x，y）|

x2

4

+

y2

3

≤1}其中真命题有

 

（填序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：结合新定义逐一求出三个命题中的轨迹，然后分类求出所有情况加以判断．

解答： 解：对于①，由动点C（x，y）到坐标原点的“直角距离”等于1，得|x|+|y|=1，
则动点C的轨迹为

x+y=1，x≥0，y≥0 x-y=1，x≥0，y＜0 -x+y=1，x＜0，y≥0 x+y=-1，x＜0，y＜0

，图象如图，

∴动点C的轨迹关于x轴、y轴、原点对称，命题①正确；
对于②，A（-1，9）、B（1，0），满足到A的“直角距离”等于到B的“直角距离”的动点C的轨迹为
|x+1|+|y-9|=|x-1|+|y|，
当x≤-1，y≤0时，化为-x-1-y+9=-x+1-y，即7=0，矛盾；
当x≤-1，0＜y＜9时，化为-x-1-y+9=-x+1+y，即y=

7

2

，；
当x≤-1，y≥9时，化为-x-1+y-9=-x+1+y，即11=0，矛盾；
同理分析另外六种情况．
由当x≤-1，0＜y＜9时，y=

7

2

即可判断②错误；
对于③，F₁（-1，0），F₂（1，0），C（x，y），
则{（x，y）|d（C，F₁）+d（C，F₂）=4}={（x，y）||x+1|+|y|+|x-1|+|y|=4}．
当y≥0，x≤-1时，轨迹为{（x，y）|-x+y=2，y≥0，x≤-1}；
当y≥0，-1＜x＜1时，轨迹为{（x，y）|y=1，y≥0，-1＜x＜1}；
当y≥0，x≥1时，轨迹为{（x，y）|x+y=2，y≥0，x≥1}；
由对称性可知其它三种情况．
∴{（x，y）|d（C，F₁）+d（C，F₂）=4}⊆{（x，y）|

x2

4

+

y2

3

≤1}．命题③正确．
故答案为：①③．

点评：本题是新概念题，考查了命题的真假判断与应用，考查了数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．