Question

12．已知圆F₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，定点F2（$\sqrt{3}$，0），动l圆M过点F₂，且与圆F₁相内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，A、B、C是轨迹M上的三个点，当点B不落在坐标轴上时，试判断四边形OABC是否可能为菱形，井说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出M的半径，依据题意列出关系MF₁+MF₂=4，可求轨迹C的方程．
（2）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足$\frac{3{x}^{2}}{4}$=r²-1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．

解答 解：（1）设圆M的半径为r．
因为圆过点F₂，且与圆F₁相内切，所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以点M的轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆，
其中2a=4，c=$\sqrt{3}$，所以a=2，b=1，
所以曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，
设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x²+y²=r²与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的公共点，解之得$\frac{3{x}^{2}}{4}$=r²-1．
设A、C两点横坐标分别为x₁、x₂，可得A、C两点的横坐标满足：
x₁=x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$，或x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$且x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
①当x₁=x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；
②若x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$且x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{{r}^{2}-1}$，则x₁+x₂=0，
可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC，
综上所述，可得当点B不落在坐标轴上时，四边形OABC不可能为菱形．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查转化思想，椭圆的定义，考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．