Question

已知函数 f（x）=

1+a•2x

2x+1

 是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性并用定义法证明；
（3）若函数f（x）的图象经过点（1，-

1

3

），这对任意x∈R不等式f（x²-2mx+m+1）≤-

1

3

恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数的性质，由f（0）=0解a即可．
（2）利用定义证明还是函数单调性．
（3）利用函数的单调性解不等式即可．

解答：解：（1）因为函数的定义域为R，且函数为奇函数，所以f（0）=0，
即f（0）=

1+a

2

=0，解得a=-1．
（2）因为a=-1，所以f(x)=

1-2x

1+2x

，
设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

1-2x1

1+2x1

-

1-2x2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
因为x₁0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数为减函数．
（3）因为函数f（x）的图象经过点（1，-

1

3

），所以f（1）=-

1

3

，
所以不等式f（x²-2mx+m+1）≤-

1

3

等价为f（x²-2mx+m+1）≤f（1），
由（2）知函数为减函数，
所以x²-2mx+m+1≥1恒成立，即x²-2mx+m≥0恒成立．
所以△=4m²-4m≤0，解得0≤m≤1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，利用定义法是证明函数单调性的基本方法．