Question

【题目】在棱长为的透明密闭的正方形容器中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕旋转，并始终保持所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

设点在上，点在上，满足，则原问题等价于求解四边形的最大值.建立空间直角坐标系，结合二次函数的性质可得旋转过程中容器中水的水面面积的最大值.

如图所示，在棱长为的正方体中，

点在上，点在上，满足，

则原问题等价于求解四边形的最大值.

作于点，当最大时，四边形有最大值.

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，设，

由于，由可得：

，则：，故,

故：，

由可得：.

故： ，

结合二次函数的性质可知：当或时，取得最大值，此时取得最大值，最大值为：.