Question

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过，且他直到第二次考核才合格的概率为．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．

Answer 1

解：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，
且他直到第二次考核才合格的概率为．
得（1-p₁）（p₁+）=，
解得p₁=或p₁=．
∵p₁≤，∴p₁=，
即小李第一次参加考核就合格的概率为
（2）由（1）的结论知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次为，，，，
∴P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，
P（ξ=3）=（1-）（1-）=
P（ξ=4）=（1-）•（1-）•（1-）•1=
∴小李参加测试的次数的数学期望为Eξ=1•+2•+3•+4•=
分析：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，这两个事件是相互独立的，写出概率的关系式，列出方程，得到结果．
（2）小李参加考核的次数ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次为，，，，根据相互独立事件同时发生的概率，得到分布列和期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题目．