分析 (1)不妨设点A在x轴上方,分直线的斜率存在和不存在两种情况,分别直线和抛物线的位置关系即可求出,
(2)分别求出直线的斜率存在和不存在,两种情况的三角形的面积,比较即可得到答案.
解答 解:(1)不妨设点A在x轴上方,
①当直线AB的斜率不存在时,直线方程为x=2,
此时将x=2代入抛物线C:y2=4x中,得y2=8,解得$y=±2\sqrt{2}$,
所以点A,B的坐标分别为$({2,2\sqrt{2}}),({2,-2\sqrt{2}})$,
又焦点F的坐标为(1,0),则$\overrightarrow{FA}=({1,2\sqrt{2}}),\overrightarrow{FB}=({1,-2\sqrt{2}})$,
所以$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=({1,2\sqrt{2}})•({1,-2\sqrt{2}})=1-8=-7$,不满足$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=-11$,故舍去;
②当直线AB的斜率存在时,设斜率为k显然k≠0,故直线AB方程为y=k(x-2).
设点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k({x-2})\\{y^2}=4x\end{array}\right.$,消去y,得k2x2-(4k2+4)x+4k2=0,且△=32k2+16>0,
则由韦达定理,得${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+4}}{k^2},{x_1}{x_2}=4$,
所以${y_1}{y_2}=({2\sqrt{x_1}})({-2\sqrt{x_2}})$=$-4\sqrt{{x_1}{x_2}}=-8$,
又焦点F的坐标为(1,0),
所以$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=({{x_1}+{x_2}})+1+{y_1}{y_2}=({{x_1}-1,{y_1}})•({{x_1}-1,{x_2}})={x_1}+{x_2}-({{x_1}+{x_2}})+1+{y_1}+{y_2}$=$4-\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}+1+({-8})=-\frac{4}{k^2}-7$.
由题意,$-\frac{4}{k^2}-7=-11$,解得k=±1,
所以直线AB方程为y=x-2或y=-x+2,即x-y-2=0或x+y-2=0.
(2)①当直线AB的斜率不存在时,由(1)得,点A,B的坐标分别为$({2,2\sqrt{2}}),({2,-2\sqrt{2}})$,
所以△ABF的面积为$S=\frac{1}{2}×|{PF}|×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{2\sqrt{2}-({-2\sqrt{2}})}|=2\sqrt{2}$;
②当直线AB的斜率存在时,设斜率为k显然k≠0,由(1)得,${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+4}}{k^2},{x_1}{x_2}=4$,
所以△ABF的面积为$S=\frac{1}{2}×|{PF}|×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{y_1^2+y_2^2-2{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4{x_1}+4{x_2}-2×2\sqrt{x_1}×({-2\sqrt{x_2}})}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{4({{x_1}+{x_2}})+8\sqrt{{x_1}{x_2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4•\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}+8\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{k^2}+32}>\frac{1}{2}\sqrt{32}=2\sqrt{2}$.
综上所述,△ABF面积的最小值为$2\sqrt{2}$.
点评 本题考查考查了抛物线的定义与简单几何性质、直线与抛物线位置关系等知识,属于中档题.
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A. | {(1,2)} | B. | (1,2) | C. | {1,2} | D. | {(1,2),(-1,-2)} |
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