Question

4．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=-11，求直线AB的方程；
（2）求△ABF面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）不妨设点A在x轴上方，分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别直线和抛物线的位置关系即可求出，
（2）分别求出直线的斜率存在和不存在，两种情况的三角形的面积，比较即可得到答案．

解答 解：（1）不妨设点A在x轴上方，
①当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x=2，
此时将x=2代入抛物线C：y²=4x中，得y²=8，解得$y=±2\sqrt{2}$，
所以点A，B的坐标分别为$（{2，2\sqrt{2}}），（{2，-2\sqrt{2}}）$，
又焦点F的坐标为（1，0），则$\overrightarrow{FA}=（{1，2\sqrt{2}}），\overrightarrow{FB}=（{1，-2\sqrt{2}}）$，
所以$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{1，2\sqrt{2}}）•（{1，-2\sqrt{2}}）=1-8=-7$，不满足$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=-11$，故舍去；
②当直线AB的斜率存在时，设斜率为k显然k≠0，故直线AB方程为y=k（x-2）．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-2}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y，得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，且△=32k²+16＞0，
则由韦达定理，得${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=4$，
所以${y_1}{y_2}=（{2\sqrt{x_1}}）（{-2\sqrt{x_2}}）$=$-4\sqrt{{x_1}{x_2}}=-8$，
又焦点F的坐标为（1，0），
所以$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{{x_1}+{x_2}}）+1+{y_1}{y_2}=（{{x_1}-1，{y_1}}）•（{{x_1}-1，{x_2}}）={x_1}+{x_2}-（{{x_1}+{x_2}}）+1+{y_1}+{y_2}$=$4-\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}+1+（{-8}）=-\frac{4}{k^2}-7$．
由题意，$-\frac{4}{k^2}-7=-11$，解得k=±1，
所以直线AB方程为y=x-2或y=-x+2，即x-y-2=0或x+y-2=0．
（2）①当直线AB的斜率不存在时，由（1）得，点A，B的坐标分别为$（{2，2\sqrt{2}}），（{2，-2\sqrt{2}}）$，
所以△ABF的面积为$S=\frac{1}{2}×|{PF}|×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{2\sqrt{2}-（{-2\sqrt{2}}）}|=2\sqrt{2}$；
②当直线AB的斜率存在时，设斜率为k显然k≠0，由（1）得，${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=4$，
所以△ABF的面积为$S=\frac{1}{2}×|{PF}|×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{y_1^2+y_2^2-2{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4{x_1}+4{x_2}-2×2\sqrt{x_1}×（{-2\sqrt{x_2}}）}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{4（{{x_1}+{x_2}}）+8\sqrt{{x_1}{x_2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4•\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}+8\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{k^2}+32}＞\frac{1}{2}\sqrt{32}=2\sqrt{2}$．
综上所述，△ABF面积的最小值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查考查了抛物线的定义与简单几何性质、直线与抛物线位置关系等知识，属于中档题．