Question

在圆x²+y²-2x-6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A、5

  2

• B、10

  2

• C、15

  2

• D、20

  2

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y-3）²=10，
则圆心坐标为（1，3），半径为

10

，
根据题意画出图象，如图所示：
由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2

10

，MB=

10

，ME=

(1-0)2+(3-1)2

=

5

，
所以BD=2BE=2

( 10 )2-( 5 )2

=2

5

，又AC⊥BD，
所以四边形ABCD的面积S=

1

2

AC•BD=

1

2

×2

10

×2

5

=10

2

．
故选B

点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．