Question

已知f（x）=e^2x+ae^x（a∈R）（e为自然对数底数）．
（1）若a=-2e，试求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的单调性，求a的范围．
（3）当a＞0且x＞-1时，求证：f（x）≥x²+（a+2）x+a+1．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（2e^x-2e）e^x=0，得x=1，
当x＜1时f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x=1为唯一极小值点，也是最小值点，
所以f（x）的最小值为f（1）=-e²；
（2）因为f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的单调性，
则有f′（x）=0的解在[0，1]上，即2e^x+a=0的解在[0，1]上．
记h（x）=2e^x+a，则h（0）•h（1）≤0，解得-2e≤a≤-2，
所以a的取值范围为[-2e，-2]；
（3）即证明a＞0且x＞-1时，e^2x+ae^x≥（x+1）²+a（x+1），
现证明e^x≥x+1，记g（x）=e^x-（x+1），令g′（x）=e^x-1=0，得x=0，
当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以x=0为唯一极小值点，也即最小值点，∴g（x）≥g（0）=0，∴e^x≥x+1，
所以a＞0且x＞-1时，e^2x≥（x+1）²，ae^x≥a（x+1），
∴e^2x+ae^x≥（x+1）²+a（x+1）．
分析：（1）求导数，利用导数判断函数的单调性，求出极值，进而得到最小值；
（2）由f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的单调性知：f′（x）=0的解在[0，1]上，根据零点存在定理可得一不等式，解出即可；
（3）问题即为证明a＞0且x＞-1时，e^2x+ae^x≥（x+1）²+a（x+1），先利用导数证明e^x≥x+1，再根据不等式的性质即可证明原不等式；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及证明不等式，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．