Question

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长均为a，D、E分别为C₁C与AB的中点，A₁B交AB₁于G。

（1）求证：A₁B⊥AD；
（2）求证：CE∥平面AB₁D。

Answer 1

证明：（1）连接A1D，BD， ∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱， ∴A1ABB1为正方形， ∴A1B⊥AB1， ∵D是C1C的中点， ∴△A1C1D△BCD， ∴A1D=BD， ∵G是A1B中点， ∴A1B⊥DG， 又∵DG∩AB1=G， ∴A1B⊥平面AB1D， 又∵AD平面AB1D， ∴A1B⊥AD； （2）连接GE，GD， ∵EG//A1A， ∴GE⊥平面ABC， ∵DC⊥平面ABC， ∴GE//DC， ∵ ∴四边形GECD为平行四边形， ∴EC∥GD， 又∵EC平面AB1D，DG平面AB1D， ∴EC//平面AB1D。