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3.已知函数f(x)=x3-x.
(Ⅰ)求f(x)在区间[-2,0]上的最大值;
(Ⅱ)若过点P(2,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.

分析 (Ⅰ)求出f(x)的导数,求得单调区间,可得[-2,0]上的最大值;
(Ⅱ)求出导数,求得切线的斜率,可得切线的方程,代入(2,t),令g(x)=2x3-6x2+t+2,求得极值,令极大值大于0,极小值小于0,解不等式即可得到t的范围.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=x3-x的导数为f′(x)=3x2-1,
当-2<x<-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时,f′(x)>0,f(x)递增;
当-$\frac{\sqrt{3}}{3}$<x<0时,f′(x)<0,f(x)递减.
所以,当$x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时,f(x)有最大值$f(-\frac{{\sqrt{3}}}{3})=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$;
(Ⅱ)设切点为$({x_0},x_0^3-{x_0})$,切线斜率$k=3x_0^2-1$,
从而切线方程为$y-(x_0^3-{x_0})=(3x_0^2-1)(x-{x_0})$,
又过点P(2,t),所以$t-(x_0^3-{x_0})=(3x_0^2-1)(2-{x_0})$,
整理得$2x_0^3-6x_0^2+t+2=0$,
令g(x)=2x3-6x2+t+2,则g′(x)=6x2-12x,
由g′(x)=0得x=0或x=2,
当x变化时,g(x)与g′(x)的变化如下表:

x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)
g′(x)+0-0+
g(x)极大值极小值
于是,$\left\{\begin{array}{l}g(0)=t+2>0\\ g(2)=t-6<0\end{array}\right.$,所以-2<t<6.

点评 本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查运算能力,属于中档题.

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