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在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).
(Ⅰ)求a2,a3,a4和b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)证明你的结论;
(Ⅲ)证明:
1
a1+b1
+
1
a2+b2
+…+
1
an+bn
5
12
分析:(Ⅰ)由an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列得关系式2bn=an+an+1,an+12=bn•bn+1
把a1=2,b1=4循环代入上面两个式子可求a2,a3,a4和b2,b3,b4,并由此猜测出{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)利用数学归纳法加以证明;
(Ⅲ)当n=1时直接验证,当n大于等于2时放缩后利用裂项相消法证明.
解答:(Ⅰ)解:由已知得2bn=an+an+1,an+12=bn•bn+1
又a1=2,b1=4,
由此可得a2=6,a3=12,a4=20,b2=9,b3=16,b4=25.
猜测an=n(n+1),bn(n+1)2
(Ⅱ)用数学归纳法证明:
①当n=1时,由(Ⅰ)可得结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2
那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
bk+1=
ak+12
bk
=(k+2)2
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.
(Ⅲ)证明:
1
a1+b1
=
1
6
5
12

n≥2时,由(Ⅰ)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.
1
a1+b1
+
1
a2+b2
+…+
1
an+bn
1
6
+
1
2
[
1
2•3
+
1
3•4
+…+
1
n(n+1)
]
=
1
6
+
1
2
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1

=
1
6
+
1
2
1
2
-
1
n+1
)<
1
6
+
1
4
=
5
12
点评:本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,是数列与不等式的综合题,考查了数学归纳法,训练了放缩法及列项相消法证明不等式,是中档题.
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C、由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D、在数列{an}中,a1=1,an=
1
2
(an-1+
1
an_-
1
)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式

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5
2
,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a,b为常数,则ab等于(  )
A、1B、-1C、2D、-2

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an
an-1
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3
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(2011•湖北模拟)在数列{an}中,a1=1,a2=1,an+1=λan+an-1
(I)若λ=-
32
bn=an+1-aan,数列{bn}
是公比为β的等比数列,求α和β的值.
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