Question

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式

f(x1)+f(x2)

2

≤f（

x1+x2

2

）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（2）设f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用作差法证明，即要证：

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)，只要证：[f(x1)+f(x2)]-2f(

x1+x2

2

)≤0；
（2）首先根据自变量的范围进行分离常数，然后问题就转化为函数求最值的问题，求最值时利用配方法．根据a的范围和（1）判断是否为凸函数；
（3）首先令x=y=0，求出f（0）的值，在令y=-x，可得出f（x）与f（-x）之间的关系，反复利用这个关系数得出f（n）与f（1）的关系，就可得出f（x）的解析式，在利用基本不等式判断是否为凸函数．

解答：解：（1）证明：对任意x₁，x₂∈R，当a＜0，
有[f（x₁）+f（x₂）]-2f（

x1+x2

2

）=ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c-2[a（

x1+x2

2

）²+b（

x1+x2

2

）+c]=ax₁²+ax₂²-

1

2

a（x₁²+x₂²+2x₁x₂）=

1

2

a（x₁-x₂）²             （3分）
∴当a＜0时，f（x₁）+f（x₂）≤2f（

x1+x2

2

），即

f(x1)+f(x2)

2

≤f（

x1+x2

2

）
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．                                          （5分）
（2）当x=0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1]时，要f（x）≤1恒成立，即ax²≤-x+1，
∴a≤

1

x2

-

1

x

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

恒成立，∵x∈（0，1]，∴

1

x

≥1，当

1

x

=1时，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

取到最小值为0，
∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（-∞，0）．
由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数  （11分）
（3）令x=y=0，则f（0）=[f（0）]²，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）
令y=-x，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=

1

f(-x)

；
若n∈N*，则f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]²；          （14分）
若n＜0，n∈Z，则-n∈N^*，∴f（n）=

1

f(-n)

=

1

2-n

=2ⁿ；∴x∈Z时，f（x）=2^x．
综上所述，对任意的x∈Z，都有f（x）=2^x；                                 （15分）
∵

1

2

[2⁰+2¹]=

3

2

＞

2

，所以f（x）不是R上的凸函数．                       （16分）
（对任意x₁，x₂∈R，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[2x1+2x2]≥

1

2

×2

2x1+x2

=f（

x1+x2

2

），所以f（x）不是R上的凸函数． 16分）

点评：本题给出了数学新定义凸函数，在判断一个函数是凸函数要根据定义，方法是“作差法”，本题的第一问与第二问紧密联系解题是要抓住这一点．难点在第三问，怎样给x，y赋值，怎样利用好①和②，最终求出解析式．