【题目】已知函数,其中,是非空数集且.设,.
(1)若,,求;
(2)是否存在实数,使得,且?若存在,求出所有满足条件的;若不存在,说明理由;
(3)若且,,单调递增,求集合,.
【答案】(1);(2)存在,3;(3),,其中或,,其中或,,或,
【解析】
(1)依题意分别表示时的值域,结合的图像和性质和二次函数的图像和性质分别求出此分段函数两支上的值域,即可得出结论;
(2)抓住线索,逐层深入,先判断,得的范围,再由已知推理缩小此范围,最后确定的值;
(3)根据函数的单调性,可得,再证明在上存在分界点的话,这个分界点应具有怎样的性质,最后根据此性质写出满足题意的集合.
(1),
,
;
(2)若则,不合题意,
从而,
,得.
若,则,
的原象且,
,矛盾.
,此时可取,满足题意.
(3)是单调递增函数,对任意,
,同理可得:.
若存在,使得则,
于是,记,
,同理可知,由,
得,
,
对于任意,取
中的自然数,则
综上所述,满足条件的必有如下表示:
,其中,
或,其中,
或,或.
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【题目】为了丰富学生的课外文化生活,某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式,取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关,学校对200名学生做了问卷调查,列联表如下:
参加文体活动 | 不参加文体活动 | 合计 | |
学习积极性高 | 80 | ||
学习积极性不高 | 60 | ||
合计 | 200 |
已知在全部200人中随机抽取1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关?请说明你的理由;
(3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人,再从所选出的5人中随机选取2人,求至少有1人学习积极性不高的概率.
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中.
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【题目】已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段与轴的交点满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作不与轴重合的直线,设与圆相交于两点,与椭圆相交于两点,当且时,求的面积的取值范围.
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【题目】对平面区域,用表示属于的所有整点(即平面上坐标都是整数的点)的个数.若表示由曲线和两直线所围成的区域(包括边界);表示由曲线和两直线所围成的区域(包括边界).则______.
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【题目】设有关于的一元二次方程.
(Ⅰ)若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(Ⅱ)若是从区间任取的一个数,是从区间任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
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【题目】某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了 50名学生的成绩(满分100分,且抽取的学生成绩都在内),按成绩分为,,,,五组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取6人,求分别抽取月考成绩在和内的学生多少人;
(2)在(1)的前提下,从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查,求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率.
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【题目】“中国式过马路”的大意是凑够一撮人即可走,跟红绿灯无关.部分法律专家的观点为“交通规则的制定目的就在于服务城市管理,方便行人,而‘中国式过马路’是对我国法治化进程的严重阻碍,反应了国人规则意识的淡薄.”某新闻媒体对此观点进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”“中立”和“不支持”态度的人数如表所示:
支持 | 中立 | 不支持 | |
20岁以下 | 800 | 450 | 200 |
20岁及以上 | 100 | 150 | 300 |
在所有参与调查的人中,用分层随机抽样的方法抽取人,已知从持“支持”态度的人抽取了45人,则______.
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