Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）在满足（1）的条件下，探究函数f（x）零点的个数；如果有零点，请指出每个零点处于哪两个连续整数之间，并说明理由；
（3）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导函数，再根据函数f（x）在x=-1处取得极值得到f'（-1）=0，解方程即可；
（2）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，发现极值都大于零，从而函数f（x）有零点且只有一个，又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．
（3）讨论a的值，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²+x+1f'（x）=3x²+4x+1
令f'（x）=3x²+4x+1=0解得x=-1，x=-

1

3

从上表可以看出f(x)极小值=

23

27

＞0 ，?f(x)极大值=1＞0，
所以函数f（x）有零点且只有一个
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．
（3）f'（x）=3x²+2ax+1△=4a²-12=4（a²-3）
当a²≤3，即-

3

＜a＜

3

时，△≤0，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数
当a²＞3，即a＞

3

或a＜-

3

时，△＞0，解f'（x）=0得两根为x1=

-a- a2-3

3

，x2=

-a+ a2-3

3

（显然x₁＜x₂）
当x∈（-∞，x₁）时f'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）时f'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函数；
在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是减函数
综上：当-

3

＜a＜

3

时，函数f（x）在R上是增函数；
当a＞

3

或a＜-

3

时，函数f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函数；在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是减函数

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件，属于基础题．