Question

已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A₂，右焦点为F₂，离心率为

5

4

，抛物线C₂：y²=2px（p＞0）上一点P（3，m）到其焦点F的距离为7，且F与A₂重合．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）求C₁的渐近线与C₂的准线所围成的三角形的面积；
（3）设过F₂倾斜角为135°的直线交C₂于A，B两点，求AB的长度．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线的焦点、准线，由抛物线的定义可得p，可得a，再由离心率公式可得c，进而得到b，即有抛物线方程和双曲线方程；
（2）求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，求得交点，再由三角形的面积公式计算即可得到；
（3）求出直线AB的方程，联立抛物线方程求得交点，由两点的距离公式计算即可得到．

解答： 解：（1）双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A₂（a，0），右焦点为F₂（c，0），
而抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点为（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

，
由抛物线的定义可得|PF|=3+

p

2

=7，解得p=8，
则F（4，0），即有a=4，
由于双曲线的离心率为

5

4

，即

c

a

=

5

4

，则c=5，b=

c2-a2

=3．
则双曲线C₁：

x2

16

-

y2

9

=1，抛物线C₂：y²=16x；
（2）双曲线的渐近线方程为y=±

3

4

x，抛物线的准线为x=-4，
则它们的交点为（-4，3），（-4，-3），
则围成的三角形的面积为

1

2

×4×6=12；
（3）过F₂（5，0），倾斜角为135°的直线为y-0=-1（x-5），即为y=5-x，
代入抛物线方程，可得x²-26x+25=0，
解得x=1或25，
可设A（1，4），B（25，-20），
即有|AB|=

(1-25)2+(4+20)2

=24

2

．

点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查渐近线方程和准线方程的运用，考查直线方程和抛物线方程联立，解方程求交点，考查运算能力，属于基础题．