Question

已知f(x)=

x2+1 -1

x

(x＞0)数列{a_n}满足a₁=a＞0且a_n=f^-1（a_n+1），
（1）求函数y=f（x）的反函数；
（2）求证：an≤(

1

2

)n-1a；
（3）若a=1试比较a_n与2^-n的大小．

Answer 1

分析：（1）根据反函数的求法步骤知，先用y来表示x，同时得到y的取值范围即可．
（2）利用放缩法得到a_n＞2a_n+1即

an+1

an

＜

1

2

，将不等式代入an=(

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

)•a1中即可得到结论．
（3）由an=

2an+1

1- a n+1 2

变形an=

2an+1

1- a 2 n+1

＜

2an+1

1-an+1

?

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

，即

1

an+1

+1＜2(

1

an

+1)∴

1

an

+1＜2n-1(

1

a1

+1)=2n，再化简得a_n＞2^-n．

解答：解：（1）由y=

x2+1 -1

x

得x=

2y

1-y2

＞0?0＜y＜1
所以y=f（x）的反函数为f-1(x)=

2x

1-x2

(0＜x＜1)
（2）∵a_n+1=f（a_n）∴a_n=f^-1（a_n+1）即an=

2an+1

1- a 2 n+1

由a₁=a＞0可得0＜a_n+1＜1
故an=

2an+1

1- a 2 n+1

＞2an+1∴

an+1

an

＜

1

2

当n≥2时，an=(

an

an-1

•

an-1

an-2

… 

a2

a1

)•a1≤(

1

2

)n-1a
（3）∵0＜an+1＜1∴an=

2an+1

1- a 2 n+1

＜

2an+1

1-an+1

?

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

即

1

an+1

＜

2

an

+1∴

1

an+1

+1＜2(

1

an

+1)∴

1

an

+1＜2n-1(

1

a1

+1)=2n
∴an＞

1

2n-1

＞

1

2n

=2-n即a_n＞2^-n．

点评：此题考查了反函数的求法，和放缩法在不等式中的应用．在运用放缩法时关键要注意不等关系．