Question

已知

a

=(cosx，-sin2x)，

b

=(6sinx+

3

cosx，

3

)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若x∈[0，

5π

12

]，求函数f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值时相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式，辅助角公式，化简函数，周期利用正弦函数的性质，即可求得函数的单调减区间；
（2）由（1）知，f（x）在[0，

π

6

]上单调递增，在[

π

6

，

5π

12

]上单调递减，从而可得函数的最值．

解答：解：（1）∵

a

=(cosx，-sin2x)，

b

=(6sinx+

3

cosx，

3

)，
∴函数f(x)=

a

•

b

=3sin2x+

3

cos2x=2

3

sin（2x+

π

6

）（x∈R）
∴T=

2π

2

=π
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
∴

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ
∴函数的单调减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）
（2）由（1）知，f（x）在[0，

π

6

]上单调递增，在[

π

6

，

5π

12

]上单调递减
∴x=

π

6

时，f（x）有最大值f（

π

6

）=2

3

∵f（0）=

3

＞f（

5π

12

）=0
∴x=

5π

12

时，函数有最小值f（

5π

12

）=0

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与最值，正确化简函数是关键．