Question

已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，

AB

=2

i

+2

j

（

i

，

j

分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量），函数g（x）=x²-x-6．
（1）求k，b的值；
（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数

g(x)+1

f(x)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）观察题设条件，可先求出f（x）=kx+b的图象与x，y轴交点A、B的坐标，表示出向量AB的坐标，即可与

AB

=（2，2）建立相关的方程，解方程求出k，b的值．
（2）由f（x）＞g（x）解出x的取值范围，再对

g(x)+1

f(x)

化简，因其形式中出现了积为定值的形式，故可以用基本不等式求最值，此时注意验证等号成立的条件．

解答：解：（1）由已知得A（-

b

k

，0），B（0，b），则

AB

={

b

k

，b}，
于是

b

k

=2，b=2、∴k=1，b=2．
（2）由f（x）＞g（x），得x+2＞x²-x-6，
即（x+2）（x-4）＜0，得-2＜x＜4，
由

g(x)+1

f(x)

=

x2-x-5

x+2

=x+2+

1

x+2

-5
由于x+2＞0，则

g(x)+1

f(x)

≥-3，其中等号当且仅当x+2=1，即x=-1时成立
∴

g(x)+1

f(x)

的最小值是-3．

点评：本题考查向量的相等的条件及用基本不等式求最值，用基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件与相关因子的符号．