Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，且

AF2

•

F1F2

=0，坐标原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-1，0），较y轴于点M，若

MQ

=2

QP

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由题意可得出F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)，再由

AF2

•

F1F2

=0得出

AF2

⊥

F1F2

，从而可得出点A的坐标(

a2-2

，±

2

a

)，由此可得出AF₁所在直线方程为y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)，再由坐标原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|．建立方程，即可解出a的值，由此得椭圆的方程；
（II）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），求出点M的坐标，设出Q的坐标，代入向量

MQ

=2

QP

得到关于两点M与Q的坐标的方程，解出点Q的坐标来，再由点Q在椭圆上，代入椭圆的方程即可得到直线的斜率k所满足的方程，解出k的值，即可得直线l的方程

解答：解：（I）由题设知F1(-

a2-2

，0)，F2(

a2-2

，0)
由于

AF2

•

F1F2

=0，则有

AF2

⊥

F1F2

，
所以点A的坐标为(

a2-2

，±

2

a

)，
故AF₁所在直线方程为y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)，…（3分）
所以坐标原点O到直线AF₁的距离为

a2-2

a2-1

(a＞

2

)，
又|OF1|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=

1

3

a2-2

，
解得a=2(a＞

2

)，
所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．…（5分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k），
设Q（x₁，y₁），由于

MQ

=2

QP

，
∴（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），
解得x1=-

2

3

，y1=

k

3

…（8分）
又Q在椭圆C上，得

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1，
解得k=±4，…（10分）
故直线l的方程为y=4（x+1）或y=-4（x+1），
即4x-y+4=0或4x+y+4=0．  …（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了转化的思想与方程的思想，判断推理的能力及综合利用直线与椭圆的有关知识解题，正确解答本题的关键是准确理解题意建立所引入的参数的方程求出参数的值，本部分题符号运算多，计算量大，要认真严谨计算