Question

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$sinB（acosB+bcosA）=\sqrt{3}ccosB$．
（1）求B；
（2）若$b=2\sqrt{3}$，△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得$sinBsinC=\sqrt{3}sinCcosB$，结合sinC＞0，可求$tanB=\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），由特殊角的三角函数值可求B的值．
（2）利用已知及三角形面积公式可求ac=8，进而利用余弦定理可求a+c=6，从而可求三角形的周长．

解答 解：（1）根据正弦定理得：$sinB（sinAcosB+sinBcosA）=\sqrt{3}sinCcosB$，
∴$sinBsin（A+B）=\sqrt{3}sinCcosB$，
∴$sinBsinC=\sqrt{3}sinCcosB$，
∵C∈（0，π），
∴sinC＞0，
∴$sinB=\sqrt{3}cosB$，即$tanB=\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{3}$，
（2）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac=2\sqrt{3}$，
∴ac=8，
根据余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴12=a²+c²-8，即a²+c²=20，
∴$a+c=\sqrt{{{（a+c）}^2}}=\sqrt{{a^2}+2ac+{c^2}}=6$，
∴△ABC的周长为：$6+2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．