Question

（2011•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．
（1）求m²+k²的最小值；
（2）若|OG|²=|OD|?|OE|，
（i）求证：直线l过定点；
（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）2    （2）见解析

（1）设y=kx+t（k＞0），
由题意，t＞0，由方程组，得（3k²+1）x²+6ktx+3t²﹣3=0，
由题意△＞0，
所以3k²+1＞t²，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=﹣，所以y₁+y₂=，
∵线段AB的中点为E，∴x_E=，y_E=，
此时k_OE==﹣．
所以OE所在直线方程为y=﹣x，
又由题设知D（﹣3，m）．
令x=﹣3，得m=，即mk=1，
所以m²+k²≥2mk=2，
（2）（i）证明：由（1）知OD所在直线方程为y=﹣x，
将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G（﹣，），
又E（，），D（﹣3，），
由距离公式和t＞0，得
|OG|²=（﹣）²+（）²=，
|OD|=，
|OE|==．
由|OG|²=|OD|?|OE|，
得t=k，
因此直线l的方程为y=k（x+1），
所以直线l恒过定点（﹣1，0）；
（ii）由（i）得G（﹣，），
若点B，G关于x轴对称，则B（﹣，﹣），
将点B坐标代入y=k（x+1），
整理得，
即6k⁴﹣7k²+1=0，解得k²=或k²=1，
验证知k²=时，不成立，故舍去
所以k²=1，又k＞0，故k=1，
此时B（﹣，﹣），G（﹣，）关于x轴对称，
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以点A（0，1），
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为（d，0），
因此d²+1=（d+）²+，解得d=﹣，
故△ABG的外接圆的半径为r==，
所以△ABG的外接圆方程为．