Question

【题目】是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点，试问：在铀上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？

Answer 1

【答案】（1）1. （2）T（4，0）.

【解析】

（1）由题意可得c，结合椭圆的定义及条件可得，解出a,b即可求出椭圆的方程，

（2）假设存在符合条件的点T，设T（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可将条件转化为直线AT与BT的斜率之和为0，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和斜率公式即可求出t＝4，当直线l的斜率不存在时，显然满足kAT+kBT＝0，即可得解.

（1）由题知，椭圆的半焦距为c=2，又由椭圆的定义可知，即，∴，∴

∴椭圆的方程为1.

（2）假设存在符合条件的点T满足，则x轴为的角平分线，即直线AT与BT的斜率之和为0，

设T（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

设直线l的方程为y＝k（x﹣2），

由，

可得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8＝0，

∴x1+x2，x1x2，

由kAT+kBT＝0，得0，

∴0，

∴2x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+4t＝0，

解得t＝4，

即T（4，0），

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，

与椭圆的交点坐标分别为（2，），（2，），显然满足kAT+kBT＝0，

∴存在点T（4，0），满足题意.