Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ax2（a∈R），y=f（x）的图象连续不间断．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，设l是曲线y=f（x）的一条切线，切点是A，且l在点A处穿过函数y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求切线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的导数f′（x）= +2ax= （x＞0），

若a≥0，则f'（x）＞0，此时函数单调递增，即增区间为（0，+∞）；

若a＜0，由f′（x）＞0，得2ax2+1＞0，即 ，得0＜x＜ ，

由f′（x）＜0，得x＞ ．

∴函数的减区间为（ ，+∞），增区间为（0， ），

综上：若a≥0，函数的增区间为（0，+∞）．

若a＜0，函数的增区间为（0， ），减区间为（ ，+∞）；

（2）设切点A（x0，f（x0）），x0＞0， ，

∴在点A处切线的斜率是 ．

∴切线方程为 ，

即 ．

l在点A处穿过函数y=f（x）的图象，即在点A的两侧，曲线y=f（x）在直线的两侧，

令 ，设h（x）=f（x）﹣g（x），

∴在x=x0附近两侧h（x）的值异号．

设 ﹣lnx0，注意到h（x0）=0．

下面研究函数的单调性：

= = ．

当 时：

x	（0，x0）	（x0， ）	（ ，+∞）
h′（x）	+	﹣	+
h（x）	增	减	增

∴当x∈（0，x0）时，h（x）是增函数，则h（x）＜h（x0）=0，

当x∈（ ，+∞）时，h（x）是减函数，则h（x）＜h（x0）=0．

∴h（x）在x=x0处取极大值，两侧附近同负，与题设不符；

同理，当x0 时，h（x）在x=x0处取极小值，两侧附近同正，与题设不符；

故 ，即 时，h′（x）= ，∴h（x）在（0，+∞）内单调递增．

∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，当x∈（ ，+∞），h（x）＞h（x0）=0符合题设．

∴ ，切线方程为 ．

【解析】（1）先对函数f（x）求导，再对a的值分情况判断函数f（x）的单调性，从而函数y=f（x）的单调区间；（2）先设切点A（x0，f（x0）），x0＞0，进而利用导数求出函数f（x）在A处的切线方程，再由已知条件转化为在点A的两侧，曲线y=f（x）在直线的两侧，进而构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），从而可得在x=x0附近两侧h（x）的值异号，最后利用导数研究函数h（x）单调性，进而可得x0，从而可得切线l的方程．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．