Question

11．已知集合A={t|函数f（x）=lg[（t+2）x²+2x+1]的值域为R}，B={x|（ax-1）（x+a）＞0}
（1）求集合A；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）本题对内函数中x²项的系数进行分类讨论，确保内函数的值能够取到每一个正数；
（2）对a的取值进行分类讨论，结合A⊆B求出不同情况下实数a的取值范围，综合可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lg[（t+2）x²+2x+1]的值域为R，
故真数u=（t+2）x²+2x+1可以为任意正数，
当t+2=0，即t=-2时，满足条件；
当t+2≠0，即t≠-2时，△=4-4（t+2）＞0，解得：t＜-1，且t≠-2，
综上可得：A={t|t＜-1}
（2）当a=0时，B={x|x＜0}，满足A⊆B；
当a＜0时，B={x|$\frac{1}{a}$＜x＜-a}，不满足A⊆B；
当a＞0时，B={x|x＜-a，或x＞$\frac{1}{a}$}，
若A⊆B，则-a≥-1，解得：0＜a≤1，
综上可得：0≤a≤1

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，集合的包含关系及应用，难度中档．