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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.
(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
(I)以A为原点,
AB
AD
AA1
的方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(
a
2
,1,0),B1(a,0,1)
AD1
=(0,1,1),
B1E
=(-
a
2
,1,-1),
AB1
=(a,0,1),
AE
=(
a
2
,1,0),
AD1
B1E
=1-1=0
∴B1E⊥AD1
(II)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP平面B1AE.此时
DP
=(0,-1,t).
又设平面B1AE的法向量
n
=(x,y,z).
n
⊥平面B1AE,∴
n
⊥B1A,
n
⊥AE,得
ax+z=0
ax
2
+y=0
,取x=1,得平面B1AE的一个法向量
n
=(1,-
a
2
,-a).
要使DP平面B1AE,只要
n
DP
,即有
n
DP
=0,有此得
a
2
-at=0,解得t=
1
2
,即P(0,0,
1
2
),
又DP?平面B1AE,
∴存在点P,满足DP平面B1AE,此时AP=
1
2

(III)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1CA1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1
∴AD1⊥平面DCB1A1
∴AD1是平面B1A1E的一个法向量,此时
AD1
=(0,1,1).
AD1
n
所成的角为θ,则cosθ=
AD1
n
|
AD1
||
n
|
=
-
a
2
-a
2
1+
a2
4
+a2

∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,
∴|cosθ|=cos30°=
3
2
-
a
2
-a
2
1+
a2
4
+a2
=
3
2
,解得a=2,即AB的长为2
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3
,AD=2
2
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π
6

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π
6
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SC
OB
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2
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2
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