Question

如图所示，已知二次函数y=-x²+9，矩形ABOC的顶点A在第一象限内，且A在抛物线上，顶点B、C分别在y轴、x轴上，设点A的坐标为（x，y）．
（1）试求矩形ABOC的面积S关于x的函数解析式S=S（x），并求出该函数的定义域；
（2）是否存在这样的矩形ABOC，使它的面积为6，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵点A在第一象限内，
∴AC=y=-x²+9，AB=x（2分）
∴S=S（x）=AC•AB=-x³+9x
其定义域为：0＜x＜3．（5分）
（2）假设存在x，使得-x³+9x=6
令：g（x）=x³-9x+6
∵g（0）=6＞0且g（1）=-2＜0（8分）
∴函数g（x）在区间（0，1）内有零点，
∴存在这样的矩形ABOC，
使它的面积为6．（10分）
分析：（1）由点A在第一象限内，知AC=y=-x²+9，AB=x，由此能求出求出该函数的定义域．
（2）假设存在x，使得-x³+9x=6，令：g（x）=x³-9x+6，由此能导出存在这样的矩形ABOC，使它的面积为6．
点评：本题考查函数的解析式及其求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．