Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，若（n∈N^*）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．
（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{b_n}是否为“和等比数列”；
（2）若数列{c_n}是首项为c₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{c_n}是“和等比数列”，试探究d与c₁之间的等量关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据数列是首项为2，公比为4的等比数列，根据等比数列的通项公式求得b_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，根据等比数列的求和公式求得T_n和T_2n，进而可求得，判断出数列{b_n}为“和等比数列”；
（2）设数列{c_n}的前n项和为R_n，且，根据等差数列的求和公式求得R_n和R_2n，代入中，求得d=2c₁．
解答：解：（1）因为数列是首项为2，
公比为4的等比数列，
所以，
因此b_n=2n-1．
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=n²，T_2n=4n²，所以，
因此数列{b_n}为“和等比数列”；

（2）设数列{c_n}的前n项和为R_n，且，
因为数列{c_n}是等差数列，
所以，，
所以对于n∈N^*都成立，
化简得，（k-4）dn+（k-2）（2c₁-d）=0，
则，因为d≠0，所以k=4，d=2c₁，
因此d与c₁之间的等量关系为d=2c₁．
点评：本题主要考查了等比数列的性质．在高考中等比数列常用对数函数、不等式、极限等知识综合考查，应多注意等比数列与其他知识的联系．