Question

已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（-3，4），B（6，-2）．C（4，6），D在AB上，且2AD=BD
（1）求

AB

的坐标及|

1

2

BC

|；
（2）若

OE

=

OA

+

OB

，  

OF

=

OA

-

OB

，求

OE

•

OF

；
（3）求向量

DB

与

DC

夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知A，B，C的坐标可直接求

AB

，

BC

，

1

2

BC

（2）由向量的加法及减法的坐标表示可求

OE

=

OA

+

OB

，

OF

=

OA

-

OB

，代入向量的数量积的坐标表示即可求解

OE

•

OF

（3）由已知可得，

DB

=2

AD

，利用向量的坐标表示可求D的坐标进而可求

DB

，

DC

，代入向量的夹角公式cosθ=

DB • DC

| DB || DC |

即可求解

解答：解：（1）∵A（-3，4），B（6，-2），C（4，6）
∴

AB

=（6+3，-2-4）=（9，-6），

BC

=（4-6，6+2）=（-2，8）
∴

1

2

BC

=（-1，4）
（2）∵

OE

=

OA

+

OB

=（-3，4）+（6，-2）=（3，2），

OF

=

OA

-

OB

=（-9，6）
∴

OE

•

OF

=3×（-9）+2×6=-15
（3））∵D在AB上，且2AD=BD，设D（x，y）
∴

DB

=2

AD

∴（6-x，-2-y）=2（x+3，y-4）=（2x+6，2y-8）
∴

6-x=2x+6 -2-y=2y-8

，解可得x=0，y=2即D（0，2）
∴

DB

=（6，-4），

DC

=（4，4）
设

DB

，

DC

的夹角为θ，则cosθ=

DB • DC

| DB || DC |

=

8

52 ×4 2

=

26

26

点评：本题主要考查了向量的基本运算的坐标表示及向量的夹角公式的简单应用，解题的关键是熟练应用基本知识