为了保护环境.某工厂在国家的号召下.把废弃物回收转化为某种产品.经测算.处理成本y之间的函数关系可近似的表示为:y=x2-50x+900.且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品.同时获得国家补贴10万元．(1)当x∈[10.15]时.判断该项举措能否获利?如果能获利.求出最大利润,如果不能获利.请求出国家最少补贴多少万元.该工厂� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x²-50x+900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
（1）当x∈[10，15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x²-50x+900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元，可得函数关系式，配方，求出P的范围，即可得出结论；
（2）求出平均处理成本，利用基本不等式，即可求出结论．

解答： 解：（1）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P=（10+10）x-y
=20x-x²+50x-900
=-x²+70x-900
=-（x-35）²+325，x∈[10，15]．
∵x=35∉[10，15]，P=-（x-35）²+325在[10，15]上为增函数，
可求得P∈[-300，-75]．
∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．

（2）设平均处理成本为Q=

=x+

900

-50≥2

x•

900

-50=10，
当且仅当x=

900

时等号成立，由x＞0得x=30．
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，正确运用求函数最值的方法是关键．

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