【题目】已知函数f(x)=lnx+ax2+x(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处的切线平行于x轴,求实数a的值,并求此时函数f(x)的极值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
【答案】
(1)解:函数f(x)=lnx+ax2+x的定义域为(0,+∞),f′(x)= +2ax+1,
依题意有f′(1)=1+2a+1=0,解得a=﹣1.
此时,f′(x)= ,∴当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
∴当x=1时,函数f(x)取得极大值,极大值为0
(2)解:因为f′(x)= ,
(ⅰ)当a≥0时,因为x∈(0,+∞),所以f′(x)= >0,此时函数f(x)在(0+∞)是增函数.
(ⅱ)当a<0时,令f′(x)=0,则2ax2+x=1=0.因为△=1﹣8a>0,
此时,f′(x)= = ,
其中,x1=﹣ ,x2=﹣ .
因为a<0,所以 x2>0,又因为 x1x2= <0,所以x1<0.
∴当0<x1<x2时,f′(x)>0,当x1>x2时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(0,x2)上是增函数,在(x2,+∞)上是减函数.
综上可知,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间是(0,﹣ ),单调递减区间是(﹣ ,+∞)
【解析】(1)由条件求得f′(x),再根据有f′(1)=0,求得a的值.(2)由条件求得f′(x),分类讨论、利用导数的符号求粗函数的单调区间.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.
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【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0)的离心率e= ,并且经过定点P( , ). (Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)问是否存在直线y=﹣x+m,使直线与椭圆交于A、B两点,满足OA⊥OB,若存在求m值,若不存在说明理由.
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【题目】如图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
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【题目】已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),计算得f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,由此推算:当n≥2时,有( )
A.f(2n)> (n∈N*)
B.f(2n)> (n∈N*)
C.f(2n)> (n∈N*)
D.f(2n)> (n∈N*)
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 且对任意的n∈N*都有Sn=2an﹣n,
(1)求数列{an}的前三项a1 , a2 , a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式an , 并用数学归纳法证明;
(3)求证:对任意n∈N*都有 .
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【题目】已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0.
(1)求证:直线l恒过定点;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最长与最短的方程.
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【题目】如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD,设E、F分别为PC、BD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:面PAB⊥平面PDC;
(3)求二面角B﹣PD﹣C的正切值.
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【题目】如图,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=2,BC=2 ,M,N分别是CC1 , BC的中点,点P在直线A1B1上,且 .
(1)证明:无论λ取何值,总有AM⊥PN;
(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该角取最大值时的正切值.
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