Question

已知集合A={（x，y）||x|+|y|=4，x，y∈R}，B={（x，y）|x²+y²=r²，x，y∈R}，若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点，则正数r的值为______．

Answer 1

根据题意，对于A，
x≥0，y≥0时，有x+y=1，
x≥0，y＜0时，有x-y=1，
x＜0，y≥0时，有x-y=-1，
x＜0，y＜0时，有x+y=-1，
故A表示由x+y=1，x+y=-1，x-y=1，x-y=-1围成的正方形，
而B表示一个圆心在原点，半径为r的圆，
若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点，如图，
则OA=r，OD=4，
易得OB=2

2

，
∠BOA=

π

8

，
有r=

2 2

cos π 8

．
故答案为r=

2 2

cos π 8

．