Question

设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成的两段圆弧,其弧长之比为3∶1.在满足①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

Answer 1

解法一:设圆心P(a,b),若半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.

又P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截x轴所得弦长为r,故r²=2b².

又圆P截y轴所得弦长为2,

∴有r²=a²+1.∴2b²-a²=1.

又P到直线x-2y=0的距离为d=,

∴5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)=2b²-a²=1.当且仅当a=b时等号成立,此时5d²=1,从而d取最小值.解得r=.∴方程为(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+

(y+1)²=2.

解法二:同解法一得d=,

∴a-2b=±d.

得a²=4b²±4bd+5d².                                                       ①

把a²=2b²-1代入①,整理得2b²±4bd+5d²+1=0.                                 ②

由Δ≥0,得d≥.取等号时,b=±1.

再代入r²=2b²,得r²=2.

由r²=a²+1得a=±1.

又|a-2b|=1,

∴a、b同号.

∴方程为(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.