解法一:设圆心P(a,b),若半径为r,则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
又P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P截x轴所得弦长为r,故r2=2b2.
又圆P截y轴所得弦长为2,
∴有r2=a2+1.∴2b2-a2=1.
又P到直线x-2y=0的距离为d=,
∴5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1.当且仅当a=b时等号成立,此时5d2=1,从而d取最小值.解得r=.∴方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+
(y+1)2=2.
解法二:同解法一得d=,
∴a-2b=±d.
得a2=4b2±4bd+5d2. ①
把a2=2b2-1代入①,整理得2b2±4bd+5d2+1=0. ②
由Δ≥0,得d≥.取等号时,b=±1.
再代入r2=2b2,得r2=2.
由r2=a2+1得a=±1.
又|a-2b|=1,
∴a、b同号.
∴方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
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QM |
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1 1 |
2 |
π |
4 |
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科目:高中数学 来源:2011年湖北省黄冈市高考数学交流试卷3(文科)(解析版) 题型:解答题
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