Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=3，BC=AA₁=4，E，F分别为AB、BB₁的中点．
（1）求三棱锥A₁-AB₁D₁的体积；
（2）求异面直线EF与BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）三棱锥A₁-AB₁D₁中，由S△A1B1D1=

1

2

×3×4=6，AA₁⊥平面A₁B₁D₁，且AA₁=4，能求出三棱锥A₁-AB₁D₁的体积．
（2）由E，F分别为AB、BB₁的中点，知EF∥DC₁，从而得到∠BC₁D异面直线EF与BC₁所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF与BC₁所成角的余弦值．

解答：解：（1）三棱锥A₁-AB₁D₁中，
∵S△A1B1D1=

1

2

×3×4=6，
AA₁⊥平面A₁B₁D₁，且AA₁=4，
∴三棱锥A₁-AB₁D₁的体积
V=

1

3

×S△A1B1D1×AA1 =

1

3

×6×4=8．
（2）∵E，F分别为AB、BB₁的中点，
∴EF∥DC₁，
∴∠BC₁D异面直线EF与BC₁所成角（或所成角的补角），
连接BD，∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=3，BC=AA₁=4，
∴BC1=4

2

，DC₁=5，BD=5，
∴cos∠BC₁D=

(4 2 )2+52-52

2×4 2 ×5

=

2 2

5

．
故异面直线EF与BC₁所成角的余弦值为

2 2

5

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．