Question

已知集合A是函数f(x)=log

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2

(x-1)的定义域．
（1）求集合A，并求出满足不等式log

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2

(x-1)＞1的x的取值范围；
（2）若集合B是函数g（x）=2^x，x∈[-1，2]的值域，求出集合B，并求出AUB．

Answer 1

分析：（1）通过对数的真数大于0即可求出函数的定义域，得到集合A，利用对数函数的运算性质化简不等式log

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2

(x-1)＞1，然后求解的x的取值范围；
（2）利用指数函数的单调性，求出函数g（x）=2^x，x∈[-1，2]的值域，得到集合B，然后求出AUB．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）∵函数f(x)=log

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2

(x-1)有意义的条件是x-1＞0，得x＞1，----（2分）
故函数f(x)=log

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(x-1)的定义域是{x|x＞1}，
即A={x|x＞1}．----（3分）
∵log

1

2

1

2

=1，∴原不等式变形为log

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2

(x-1)＞log

1

2

1

2

．----（4分）
又∵函数y=log

1

2

x是单调减函数，
∴x-1＜

1

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，得x＜

3

2

．--（5分）
又因为x＞1，
∴所求x的取值范围是1＜x＜

3

2

----（6分）
（2）∵函数g（x）=2^x在区间[-1，2]上是单调增函数，
∴g（x）=g（-1）=2^-1=

1

2

，----（7分）
g_max（x）=g（2）=2²=4，----（8分）
故函数g（x）=2^x的值域是{y|

1

2

≤y≤4}，----（9分）
即B={y|

1

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≤y≤4}．----（10分）
∴AUB={x|x≥

1

2

}．----（12分）

点评：不考查指数函数与对数函数的单调性的应用，考查函数的定义域，集合的并集的求法，考查计算能力．